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Institut für Mathematik und Informatik

Geometrische Gruppentheorie – Ein Einstieg mit dem Computer

Gruppentheorie wird meistens abstrakt gelehrt und steht auch abstrakt in Büchern. Anders als in der 9. Klasse bei der Behandlung von Funktionen hat man als Student bei der Behandlung von Sätzen zu Gruppen nicht eine Vorstellung von Gruppen im Kopf, die aber unabdingbar ist, um mit Gruppen so umgehen zu können, dass eine sinnvolle Behandlung von Theoremen möglich ist. Dabei helfen auch einige Beispiele wenig. Diese müssen mit den Definitionen in Verbindung gebracht werden und das "gruppenspezifische" daran muss erfasst werden. Das Beispiel der ganzen Zahlen mit der gewohnten Addition oder die endlichen zyklischen Gruppen ist dabei eher hinderlich. Diese Beispiele mit der Gruppendefinition in Einklang zu bringen ist einfach, aber führt in die Irre. Man bekommt zu leicht das Gefühl, jede Gruppe sei abelsch.

Isometrien sind dagegen bereits jedem Grundschüler bekannt. Alle Isometrien einer gegebenen Figur in der Ebene bilden eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung. Das ist leicht nachvollziehbar, baut auf bekanntem auf und erfasst das Gruppenphänomen in voller Allgemeinheit. Sich am Anfang eine Gruppe als Isometriegruppe einer Figur vorzustellen, ist wesentlich einfacher als mit, für den Studenten, inhaltsleeren Objekten umzugehen. Man hat von Anfang an sehr viele Beispiele und die Gruppenaxiome ergeben sich ganz kanonisch.

In dem Buch Stephan Rosebrock; Geometrische Gruppentheorie - Ein Einstieg mit dem Computer. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht; vieweg + teubner Verlag; 2., akt. Aufl. 2010. XII, 211 S. Mit 61 Abb. Br. ISBN: 978-3-8348-1038-0 wird mit diesem Ansatz Gruppentheorie gelehrt.

Die zweite, aktualisierte Auflage ist erschienen. Es wurden bekannte Fehler korrigiert und neue Teile aufgenommen. Jede Kritik ist willkommen (Änderungsvorschläge, Fehler, sprachliche Ungenauigkeiten, etc.), am besten als e-mail an: mail an S. Rosebrock

Auf dieser Seite stelle ich Material rund um das Buch zur Verfügung.

Die GAP-Zeilen aus dem Buch

Fehler in diesem Buch

In dieser Auflage sind bisher keine Fehler bekannt.

Aufsätze im Zusammenhang mit dem Buch

  • D. Baldus, S. Rosebrock: Isometrien und ihre Verkettungen. Wir stellen eine geometrisch - algebraische Unterrichtseinheit für die Sekundarstufe I vor. Es geht dabei um Spiegelungen und Drehungen in der Ebene, um die Verkettung (Hintereinanderausführung) von diesen Isometrien und die zugehörige (einfache Form der) Gruppentheorie. Diese Unterrichtseinheit ist von der Autorin in einer sechsten Klasse erprobt worden. Für höhere Klassen oder die Oberstufe haben wir in einem weiteren Abschnitt weiterführendes Material gesammelt. Der Autor hat mit diesem Ansatz eine Vorlesung über Gruppentheorie vor Lehramtsstudenten gehalten.
    Teil I: Mathematik in der Schule 3; 1998; pp. 144-156
    Teil II: Mathematik in der Schule 4; 1998; pp. 209-220
  • G. Huck, S. Rosebrock: A Bicombing that implies a Sub - Exponential Isoperimetric Inequality. The idea of applying isoperimetric functions to group theory is due to M. Gromov. We introduce the concept of a bicombing of narrow shape which generalises the usual notion of bicombing. Our bicombing is related to but different from the combings defined by M. Bridson. If the Cayley graph of a group with respect to a given set of generators admits a bicombing of narrow shape then the group is finitely presented and satisfies a sub - exponential isoperimetric inequality, as well as a polynomial isodiametric inequality. We give an infinite class of examples which are not bicombable in the usual sense but admit bicombings of narrow shape.
    Proceedings of the Edinburgh Math. Soc. 36; 1993; pp. 515-523
  • G. Huck, S. Rosebrock: Weight tests and hyperbolic groups. The notion of a reduced diagram plays a fundamental role in small cancellation theory and in tests for detecting asphericity of 2-complexes. By introducing vertex reduced as a stricter form of reducedness in diagrams we obtain a new combinatorial notion of asphericity for 2-complexes, called vertex asphericity, which generalises diagrammatic reducibility and implies diagrammatic asphericity. This leads to a generalisation and simplification in applying the weight test and the cycle test to detect asphericity of 2-complexes and (for the hyperbolic versions of these tests) to detect hyperbolic group presentations. In the end, we present an application to labelled oriented graphs.
    Combinatorial and Geometric Group Theory; Cambridge University Press; London Math. Soc. Lecture Note Ser. 204; Editors: A. Duncan, N. Gilbert, J. Howie; 1995; pp. 174-183 G.
  • Huck, S. Rosebrock: Applications of diagrams to decision problems. Classical decision problems such as the word- and conjugacy problem are introduced and methods are given for solving them in certain cases. All the methods we present involve Van-Kampen diagrams as one of the most powerful tools when dealing with the classical decision problems.
    Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory; Cambridge University Press; London Math. Soc. Lecture Note Ser.; Editors: C. Hog-Angeloni, W. Metzler, A. Sieradski; 1993; pp. 189-218
  • S. Rosebrock: Aus Spiegelachsen Figuren bauen. Werden in der Schule Spiegelungen behandelt, so untersucht man unter anderem gegebene Figuren auf Spiegelsymmetrie. Umgekehrt lässt man auch Figuren mit Hilfe von Spiegelungen erzeugen. Fast immer geschieht dieses aber auf dieselbe Art und Weise: Man gibt eine halbe Figur vor, die von einer Spiegelachse begrenzt wird, und fordert auf, das Bild zu ergänzen. Lässt man jedoch bei der Erzeugung solcher Bilder mehr Spiegelungen zu als nur eine, so kommt man zu einer wesentlich größeren Vielfalt an Figuren, und kann damit hervorragend das geometrische Vorstellungsvermögen schulen und Anfänge von Algebra lernen. Wie, das wird in diesem Artikel erläutert.
    Mathematikinformation 42; Begabtenförderung Mathematik e.V., (2005), S. 59-65